Ryzyko ruiny
Prawdopodobiyństwo straty cŏłkigo bankrollu, podwiela dojdziesz do cylu.
Dlŏ zakładōw na szansach prostych ryzyko ruiny wychodzi ze wzoru na ruinã grŏcza. Przi bankrollu $500, zakładach po $10 i cylu $600 cyl je ôsiōngniynty w kole 57% przipadkōw, a w reszcie przichodzi bankructwo.
Pytanie
Mosz a jednostekpieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość → bankrollupieniōndzeBankrollCŏłko suma ôdłożōno na granie. Zarzōndzanie bankrollym to je decydowanie, wiela z niego ryzykować na jedyn zakłŏd i na jednõ sesjã.Czytej cŏłość → i chcesz dojść do a + b jednostek, stawiajōnc po jednyj jednostce na szansã prostõzakłŏdSzansa prostoCzerwōne/czŏrne, niyparzyste/parzyste, wysoke/niske. 18 numerōw, płaci 1:1.Czytej cŏłość → z prawdopodobiyństwymmatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość → wygranyj p = 18/37 i prawdopodobiyństwym przegranyj q = 19/37. Jake je prawdopodobiyństwo, iże dojdziesz do cylu, podwiela spadniesz do zera? Ôdpowiydź wyrachowali Pascal, Fermat i Huygens w latach 1650. i to je jedyn z nojstarszych wynikōw rachunku prawdopodobiyństwa.
Wzōr na ruinã grŏcza
P(dojście do cylu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ryzyko ruinymatymatykaRyzyko ruinyPrawdopodobiyństwo, iże stracisz cŏłki bankroll, zanim dojdziesz do celu abo do danyj liczby spinōw.Czytej cŏłość → to je jedyn minus ta wartość. Przi q/p = 19/18 ≈ 1,0556 stosunek rośnie wykładniczo razym z liczbōm jednostek, tōż wzōr ôstro karze małe jednostki: czym wiyncyj zakładōw trza, coby dojść do cylu, tym wiyncyj razy po drōdze płaci sie myto 2,70%.
Jak to czytać
Małe jednostki szkodzōm. Prōba podwojynio $500 zakładami po $10 wychodzi w 6% przipadkōw; jednym zakładym $500 wychodzi w 48,6%. Ôdwŏżno gra, to je mynij i wiynkszych zakładōw, maksymalizuje prawdopodobiyństwo dojścia do cylu w grze ô ujymnyj ôczekiwanyj wartości, bo minimalizuje liczbã razy, kej działŏ przewŏga kasyna. Maksymalizuje tyż wariancjãmatymatykaWariancjaMiara tego, jak szyroko wyniki sie rozłażōm wkoło ôczekiwanyj wartości. Srogo przi jednym numerze, mało przi szansach prostych.Czytej cŏłość → tego, co cie trefi, i gibko kōńczy wieczōr. Twierdzynie mianuje sie „ôdwŏżno gra je ôptymalno” i udowodniyli je Dubins i Savage w 1965 roku.
Skuli czego sie wziōn tyn problym
Pytanie je starsze jak ruletka. W 1656 roku Pascal dŏł Fermatowi zagŏdkã: dwōch grŏczy ciepie trzōma kostkami, kożdy zaczynŏ z 12 żetōnami; rzut 11 przesuwŏ żetōn w jednõ strōnã, rzut 14 w drugõ. Ôba jã rozwiōnzali, a Huygens, kery sie ô nij dowiedzioł z brifu matymatyka Pierre'a de Carcavi, ôpublikowoł jã w 1657 jako piōnte zadanie piyrszyj ksiōnżki ô prawdopodobiyństwie, z ôdpowiydziōm i bez dowodu. Jedynŏście idzie ciepnōńć na 27 spusobōw, a sztyrnŏście ino na 15, tōż kożdy żetōn przechodzi na strōnã piyrszego grŏcza 9 razy na 14, a wzōr wyżyj, przi 12 żetōnach z kożdyj strōny, dŏwŏ mu kole 1 157 razy wiynksze prawdopodobiyństwo wygranio wszyjskigo jak przegranio wszyjskigo. Przewŏga 2,70% je moc mynijszŏ, ale tyn sōm wzōr pokazuje, co ôna robi w moc zakładach.
Prawdziwy ôdwŏżny zakłŏd
We kwietniu 2004 roku Ashley Revell, mody Anglik, przedoł prawie wszyjsko, co mioł, razym z ôblyczyniym, i zabrŏł $135 300 do kasyna Plaza w Las Vegas. Po pŏru małych zakładach postawiył cŏłkõ kwotã na czerwōnezakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość →, jedyn rŏz. KulkasprzyntKulkaMało kulka puszczano po torze przeciwnie do rotora. Dzisiejsze kulki sōm z ivorine abo z teflōnu, 18–21 mm.Czytej cŏłość → wpadła na czerwōnõ 7 i ôn wyszoł z $270 600. Na kole z dwōma zeramikołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość → tyn jedyn spin dŏwoł prawdopodobiyństwo 47,37% i kosztowoł go strzednio $7 121: tela wynosi przewŏga 5,26% na jednym zakładzie. Rozłożōny na zakłady po $10, tyn sōm cyl bōłby bezmała bez nadzieje. Ôdwŏżno gra niy robi zakładu dobrym; robi go możliwie nojkrōtszym.
Ryzyko ruiny bez cylu
Jeźli ino grŏsz, aż zbankrutujesz abo przestaniesz po N spinach, pytanie brzmi: „jake je prawdopodobiyństwo, iże mōj bankroll dotknie zera w N spinach?”. Dlŏ ôgōlnego N niy ma zamkniyntego wzoru, ale symulatory na tyj zajcie to rachujōm: bankroll $500 przi $10 na czerwōne prawie nikej niy bankrutuje w 100 spinach (pod 1%), bankrutuje w kole 9% przipadkōw w 500 spinach i w kole 95% w 5 000. Bez regle zastŏwki prawdopodobiyństwo dōnży do 100%, co je wersyjōm na dłōgo metã przewŏgi kasynamatymatykaPrzewŏga kasynaCzyńść kożdyj stawki, kerõ kasyno strzednio zatrzimuje: 2,70% w europejskij ruletce.Czytej cŏłość →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- myjdiana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Jak dłōgo i jak daleko na plusie
Dwa dalsze klasyczne wyniki ôdpowiadajōm na pytania, kere grŏcze naprŏwdã zadŏwajōm. Bez cylu stałe zakłady na szansach prostych trwajōm strzednio 37 spinōw na kożdõ jednostkã bankrollu na europejskim kole i 19 na amerykańskim, bo kożdy spin zabiyrŏ strzednio 1/37 jednostki (1/19 na amerykańskim kole): 100 jednostek styknie strzednio na 3 700 spinōw, chociaż połowa takich sesji kōńczy sie w 3 134 (ôbejrzij Dłōgość sesje a jeji koszt). A niyzależnie ôd srogości bankrollu prawdopodobiyństwo, iże na europejskim kole kejś bydziesz k jednostek na plusie, wynosi (18/19)ᵏ. To je 95% dlŏ jednyj jednostki i 58% dlŏ dziesiyńciu, ale żŏdyn bankroll, choćby niy wiym jak srogi, niy dŏwŏ prawdopodobiyństwa pōł na pōł, iże kejś bydziesz 13 jednostek na plusie; na amerykańskim kole to prawdopodobiyństwo wynosi (9/10)ᵏ i spadŏ pod połowã przi 7 jednostkach.
Bankroll na rōwne szanse
Ôbrōć pytanie: wiela trza prziniyść, coby mieć choby rōwne szanse wygranio danyj kwoty, podwiela sie straci wszyjsko? Przi małyj wygranyj niywiela. Przi wiynkszyj potrzebny bankroll rośnie stromo, a ôd jakigoś pōnktu żŏdyn bankroll niy styknie, bo nawet niyskōńczōny dŏwŏ mynij jak rōwne szanse, iże kejś bydziesz aż tela do przodku. Taylor (2021) gŏdŏ to inakszyj: na amerykańskim kole, coby mieć rōwne szanse dojścia do 100 jednostek, musisz zaczōnć ôd 94, ryzykujōnc 94, coby wygrać 6. Na europejskim kole trza by 88.
Praktyczny wniosek
Zdecyduj, do czego zmiyrzŏsz. Jeźli cylym je kōnkretno wygrana, stawiej moc i rzadko. Jeźli cylym je dłōgi wieczōr, stawiej mało i pogŏdej sie z tym, iże przewŏga kasyna weźnie swoje 2,70% ze srogigo ôbrotupieniōndzeÔbrōtCŏłko suma postawiōno bez sesjã abo bez jakiś czas, razym z zaś postawiōnymi wygranymi. Tyż: handle, action.Czytej cŏłość →. Jeźli cylym je jedno i drugie, cosik musi ustōmpić, i zwykle to je cyl.
Wzōr
Pytania
MartingalestrategijŏMartingaleProgresjŏ, kero podwajŏ zakłŏd po kożdyj przegranyj. Co robi, a czego niy, ôpisuje dziŏł Strategije.Czytej cŏłość → zmyńszŏ je w krōtkich sesjach, a fest zwiynkszŏ w dłōgich. Granie stałōm stawkōmstrategijŏGranie stałōm stawkōmStawianie tyj samyj sumy w kożdym spinie. Pōnkt ôdniesiynio, z kerym sie porōwnuje kożdo progresjŏ.Czytej cŏłość → przi wiynkszyj jednostce to je uczciwy spusōb, coby je zmyńszyć.
Wzōr wyżyj tyczy sie szans prostych. Przi zakładach ô srogij wariancji ruina je barzij prawdopodobno przi małych stawkach, a do cylu dochodzi sie barzij niyrōwno; użyj kalkulatora.
Kożdy krok ku cylowi je trocha mynij prawdopodobny jak kożdy krok ku ruinie; tyn stosunek sie kumuluje razym z liczbōm krokōw.
Matymatyka na wesoło
Nojpiyrw sprōbuj je rozwiōnzać samymu. Kożde rozwiōnzanie je zwiniyte; rozwiń je, kej bydziesz chcieć.
Mosz $100 i chcesz mieć $1 000, stawiajōnc ino na czerwōnezakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość →. Plan piyrszy: stawiać po $1. Plan drugi: stawiać wszyjsko, co mosz, aże przekroczysz $500, a potym ino tela, coby dojś do $1 000. Kery plan je lepszy i ô wiela?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Plan drugi, i to fest. Dochodzi do $1 000 w kole 9,0% przipadkōw, blisko sprawiedliwych 10%. Plan piyrszy udŏwŏ sie kole 7 razy na 10²².
W sprawiedliwyj grzematymatykaSprawiedliwo graGra, w keryj żŏdno strōna niy mŏ przewŏgi: kożdy zakłŏd mŏ ôczekiwanõ wartość zero.Czytej cŏłość → doszłoby sie ze $100 do $1 000 roz na dziesiyńć, choćby co sie robiyło, bo strzednio wartość twojich pieniyndzy ôstŏwŏ na $100.
Przewŏga kasyna bierze 2,70% kożdego zakładu, tōż im mynij stawiŏsz w sumie, tym bliżyj ôstŏwŏsz jednego na dziesiyńć. Plan drugi rozstrzigŏ sprawa w kilku zakładach: $100 robi sie $200, $400, $800, a potym styknie $200. Udŏwŏ sie w kole 9,0% przipadkōw. Plan piyrszy potrzebuje tysiyncy zakładōw, zanim sie te wandrowanie skōńczy, a przewŏga, mało na kożdym z nich, zbiyrŏ sie do skoro zicher ruiny.
To je wynik Dubinsa–Savage'a w nojprostszyj formie (Epstein, 2013): w grze, kero sprzyjŏ kasynu, stawiej tela, wiela trza, tak mało razy, jak ino idzie.
Mosz $500 i chcesz $1 000, i kōńczysz, jak ino je mosz. Wybiyrŏsz jedyn zort zakładu i powtŏrzŏsz go, aże roz wygrŏ abo sie skōńczōm pieniōndze. Kery zort dŏwŏ nojlepsze prawdopodobiyństwo?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Jedyn zakłŏd $500 na czerwōne: 48,6%. Kożdy plan, kery rozkłŏdŏ pieniōndze na mynijsze zakłady, wypadŏ gorzij.
Wybier kożdo stawka tak, coby jedna wygrana styknyła: $30 na jedyn numerzakłŏdJedyn numer (straight up)Jedyn numer, płaci 35:1.Czytej cŏłość → wygrŏwŏ $1 050, $60 na splitzakłŏdSplitDwa sōmsiednie numery, płaci 17:1.Czytej cŏłość → wygrŏwŏ $1 020 i tak dalij. Potym policz prawdopodobiyństwo, iże chocia jedyn zakłŏd wygrŏ, zanim sie skōńczōm pieniōndze. Szesnŏście zakładōw po $30 na jedyn numer pudłuje razym z prawdopodobiyństwym (36/37)¹⁶ = 64,5%, tōż dochodzōm do $1 000 w 35,5% przipadkōw.
Tabela pokazuje kożdy zakłŏd. Czerwōne wypadŏ nojlepij, bo dochodzi do cylu jednym zakładym, tōż przewŏga je płacōno roz, ôd $500. Six linezakłŏdSix lineSzejś numerōw w dwōch sōmsiednich rzyndach, płaci 5:1. Po francusku: sixain.Czytej cŏłość → je drugi, bo potrzebuje ino trzech. Jedyn zakłŏd na tuzinzakłŏdTuzin1–12, 13–24 abo 25–36, płaci 2:1.Czytej cŏłość → je nojgorszy, prawdopodobiyństwo 12/37; nawet grany jednostkamipieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość → po $250 aże do $1 000 abo wiyncyj, tuzin dochodzi tam ino w 46,4% przipadkōw.
Bollman (2024) robi ta sama tabela dlŏ amerykańskigo koła. W jego wierszu tuzina je feler: powinno tam stŏć 12/38 = 31,6%.
zakłŏdstawka × liczba zakładōwprawdopodobiyństwo dojścio do $1 000Jedyn numer$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Tuzin$500 × 132,4%Czerwōne$500 × 148,6%Stawiŏsz jedna jednostka na czerwōne, spin po spinie, z bankrollympieniōndzeBankrollCŏłko suma ôdłożōno na granie. Zarzōndzanie bankrollym to je decydowanie, wiela z niego ryzykować na jedyn zakłŏd i na jednõ sesjã.Czytej cŏłość →, kery sie nikej niy kōńczy. Po piyrszym spinie mosz jedna jednostka na plusie abo na minusie. Jake je prawdopodobiyństwo, iże kejś zaś bydziesz akuratnie na zero?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź 36 na 37, 97,3%. Na amerykańskim kole to je 36 na 38, 94,7%.
Jeźli piyrszy spin wygrŏ (18 razy na 37), mosz jedna jednostka na plusie, a przewŏga ciōngnie kożdo niyskōńczōno sesjŏ w dōł, tōż wczaśnij abo niyskorzij zaś przechodzisz bez zero: to je zicher. Jeźli przegrŏ (19 razy na 37), musisz wylyźć ô jedna jednostka, a prawdopodobiyństwo, iże kejś bydziesz jedna jednostka na plusie, wynosi 18/19 (uwidź tabela wyżyj).
Razym: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Ôgōlnie prawdopodobiyństwo to je 1 minus rōżnica miyndzy prawdopodobiyństwym wygranyj i przegranyj w spinie: 1 − 1/37 na europejskim kole, 1 − 2/38 na amerykańskim. W grze bez zerakołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość → ta rōżnica je zerowo, a prawdopodobiyństwo wynosi 1: wynik dycki wrŏcŏ na zero. Epstein (2013) podŏwŏ ôgōlno regla.
Zagadka Pascala z 1656 roku: dwŏch grŏczy ciepie trzema kostkami, kożdy zaczynŏ z 12 żetonami. Kożde 11 przesuwŏ jedyn żeton do piyrszego grŏcza, kożde 14 jedyn do drugigo; inksze ciepniyńcia sie niy liczōm. Jake je prawdopodobiyństwo, iże piyrszy grŏcz wygrŏ wszyjske 24? A jeźli zamiast tego stawiŏsz 1 jednostka na czerwōne w kożdym spinie przeciw kamratowi, kery robi za bank, po 12 jednostek na kożdego, jake je prawdopodobiyństwo, iże wygrŏsz wszyjske 24?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Piyrszy grŏcz wygrŏwŏ kole 1 157 razy na 1 158. Ty, na czerwōnym, wygrŏwŏsz wszyjske 24 jednostki ino w kole 34% przipadkōw.
Trzi kostki dajōm 11 na 27 sposobōw, a 14 na 15 sposobōw, tōż kożdy żeton, kery sie przesuwŏ, idzie do piyrszego grŏcza 27 razy na 42, czyli 9 razy na 14. Kej kożdo strona zaczynŏ z 12, prawdopodobiyństwo wziyńcio wszyjskigo wynosi 1/(1 + r¹²), kaj r to je stosunek prawdopodobiyństwa drugij strony do twojigo.
Dlŏ piyrszego grŏcza r = 5/9, a (5/9)¹² ≈ 0,00086, tōż prawdopodobiyństwo wynosi kole 0,99914: szanse 9¹² do 5¹², czyli 282 429 536 481 do 244 140 625, kole 1 157 do 1. Huygens wydrukowoł akuratnie te liczby w 1657 roku.
Na czerwōnym r = 19/18 skuli zera, a (19/18)¹² ≈ 1,913: twoje prawdopodobiyństwo to je 1/2,913 ≈ 34,3%. Mōneta dałaby 50%. Przewŏga 2,70% na kożdym zakładzie zbiyrŏ sie, bez moc zakładōw, kere sōm do tego potrzebne, do rōżnicy 16 pōnktōw procyntowych.
Chwila ôddychu
Ôdwŏżno gra je ôptymalno. I gibko sie kōńczy.
Źrōdła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”