Zadanie: koło gyburtstagōw
Wiela spinōw, nim jaki numer sie powtōrzi? Fest mynij, niż zgaduje wiynkszość ludzi.
Problem gyburtstagu na kole z 37 przegrōdkamisprzyntPrzegrōdkaJedna z 37 numerowanych przegrōdek na rotorze. Tyż: slot, miseczka.Czytej cŏłość →: już po 8 spinach je wiyncyj niż rōwne prawdopodobiyństwo, iże jaki numer wypŏd dwa razy. Grŏcze czytajōm powtōrzynia jak wzory; to je ôczekiwane zachowanie rzetelnego koła.
Zadanie
Zakryńć rzetelnym europejskim kołym. Wiela spinōw, nim prawdopodobiyństwomatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość →, iże przinojmnij dwa spiny pokŏzały tyn sōm numer, przekroczy jednõ drugõ? Wiynkszość grŏczy zgaduje kajś kole 18 abo 19, to je połowa z 37. Ôdpowiydź to 8.
Rozwiōnzanie
Policz prawdopodobiyństwo, iże niy bydzie powtōrzynio, i ôdejmij je ôd jedności. Po k spinach p(wszyjske rōżne) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Dlŏ k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, tōż p(jake powtōrzynie) ≈ 0,56. Dlŏ k = 14 to 0,93; dlŏ k = 20 to 0,996. Przeczucie zawodzi, bo wielość pŏr spinōw rośnie jak k², a kożdo pŏra może sie zgodzić.
Czamu to je ważne przi stole
Tablica z wynikami ôstatnich 20 numerōw skoro dycki pokŏże przinojmnij jedno powtōrzynie, czynsto dwa abo trzi. Grŏcze widzōm „17 wypadło dwa razy w dziesiyńciu spinach” i myślōm, iże 17 je gorki; arytmetyka gyburtstagu gŏdŏ, iże powtōrzynie w dziesiyńciu spinach trefiŏ sie w 74% przipadkōw, a powtōrzōny numer je losowy. Wzōr je prawdziwy; jego znaczynie niy.
Zadanie na dokładkã
Wiela spinōw, nim ôkryślōny numer, na przikłŏd 17, wypadnie dwa razy? To je inksze pytanie z fest srogszōm ôdpowiedziōm: strzednio trza czekać 74 spiny, a prawdopodobiyństwo dwōch 17 w 20 spinach wynosi kole 10%. Rōżnica miyndzy „jaki numer sie powtŏrzŏ” (8 spinōw) a „tyn numer sie powtŏrzŏ” (74 spiny) to cŏłko rōżnica miyndzy wzorym, kery uwidzisz po fakcie, a przewidywaniym, kere robisz z gōry.
Sprōbuj
Rozegrej dziesiynć spinōw w grze demo i podziwej sie na historyjõ. Zwykle bydzie powtōrzynie. Zrōb to jeszcze rŏz. Powtōrzōny numer bydzie inkszy. Zrōb to dziesiynć razy, a uwidzisz problem gyburtstagumatymatykaProblem gyburtstaguWiela trza ludzi, coby dwie ôsoby nojpewnij miały gyburtstag tego samego dnia, abo wiela spinōw, coby numer nojpewnij sie powtōrzōł. Na kole z 37 przegrōdkami 8 spinōw styknie, coby szansa była lepszo niż pōł na pōł.Czytej cŏłość →; zrōb to tysiōnc razy (symulatory to umiōm), a go zmierzisz.
Wzōr
Pytania
Akurat, ino z 37 przegrōdkami miast 365 dni. 23 ludzi dŏwŏ 50% dlŏ gyburtstagōw; 8 spinōw dŏwŏ 56% dlŏ koła.
50% po kole 19 spinach. Dalij nic ôsobliwego.
Niy. Świadczyć ô nim by mogły tysiōnce spinōw z jednego koła; powtōrzynie nikej.
Matymatyka na wesoło
Nojpiyrw sprōbuj je rozwiōnzać samymu. Kożde rozwiōnzanie je zwiniyte; rozwiń je, kej bydziesz chcieć.
Tabla wynikōw przi amerykańskim kole pokazuje ôstatnie 16 spinōw. Jake je prawdopodobiyństwo, iże żŏdyn numer niy pokŏże sie na nij dwa razy?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Kole 2,5%: wiyncyj abo mynij 39 tabli na 40 pokazuje nojmynij jedno powtōrzynie.
Idź spin po spinie. Piyrszy spin może być jakikolwiek. Drugi musi go ôminōć: 37 możności na 38. Trzeci musi ôminōć ôba: 36 na 38. Szesnŏsty musi ôminōć piyntnŏście numerōw: 23 na 38.
Pōmnōż: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
To tabla bez powtōrzynio je rzadkościōm. Tabla z powtōrzyniym nic niy gŏdŏ ô kole.
Jake je prawdopodobiyństwo, iże w dziesiyńciu spinach na europejskim kole 17 wypadnie akuratnie piyńć razy? Iże jakiś numer, jakikolwiek, wypadnie piyńć abo wiyncyj razy? I iże jakiś numer wypadnie nojmynij trzi razy w sztyrech spinach?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź 17 akuratnie piyńć razy: 1 na 315 576. Jakiś numer piyńć abo wiyncyj razy: kole 1 na 8 333. Jakiś numer trzi abo wiyncyj razy w sztyrech spinach: 1 na 349.
17 piyńć razy: wybier, kere piyńć z dziesiyńciu spinōw, na 252 spusoby; kożdy mŏ prawdopodobiyństwo (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Razym 1 na 315 576.
Jakiś numer: kożdy z 37 numerōw mŏ prawdopodobiyństwo 1 na 308 325 piyńciu abo wiyncyj trefiyń, co dŏwŏ 37 na 308 325, to je 1 na 8 333. Rzadki przipadek dwōch numerōw po piyńć trefiyń liczy sie podwōjnie, ale jego ôdjyncie nic niy zmiyniŏ przi tyj akuratności.
Trzi razy w sztyrech spinach: dlŏ jednego numeru 4 × 36 + 1 = 145 z 37⁴ możliwych wynikōw; dlŏ jakigokolwiek z 37 numerōw 145/37³ = 1 na 349.
Dlŏ koła z podwōjnym zerymkołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość → te same wartości to sōm 1 na 359 275, 1 na 9 243 i 1 na 368. Rōżnica miyndzy „17” a „jakimś numerym” to je zaś problem gyburtstagumatymatykaProblem gyburtstaguWiela trza ludzi, coby dwie ôsoby nojpewnij miały gyburtstag tego samego dnia, abo wiela spinōw, coby numer nojpewnij sie powtōrzōł. Na kole z 37 przegrōdkami 8 spinōw styknie, coby szansa była lepszo niż pōł na pōł.Czytej cŏłość →: je 37 spusobōw, coby sie zadziwić.
Chwila ôddychu
Cosik sie powtŏrzŏ gibko. To cosik je losowe.
Źrōdła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard”, pytania ô ruletkã.