Zbieżność na dłōgo metã: prawo srogich liczb w ruletce
Jak strzednio wartość sie ustŏwiŏ kole −2,70% i czamu to trwŏ dłużyj, niż by sie zdało.
Strzednio strata na spin zbiygŏ do −1/37, jak spinōw przibywŏ, a rozrzut maleje jak 1/√N. Po 1 000 spinach na czerwōne strzednio zwykle leży w granicach ±3% swojij ôczekiwanyj wartości.
Prawo srogich liczb
Bieżōnco strzednio niyzależnych zakładōw dōżi do ôczekiwanyj wartościmatymatykaÔczekiwano wartośćStrzedni wynik na zakłŏd na dłōgo metã. −1/37 stawki przi kożdym standardowym europejskim zakładzie.Czytej cŏłość →. Po N spinach na szansach prostych po jednyj jednostcepieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość → strzedni wynik na spin mŏ ôczekiwanõ wartość −1/37 i ôdchylynie standardowematymatykaÔdchylynie standardowePiyrwiastek z wariancji; typowo ôdległość wyniku ôd ôczekiwanyj wartości.Czytej cŏłość → 1/√N. Przi N = 100 tyn rozrzut to 10% stawki, skoro sztyry razy wiyncyj niż sygnał 2,7%. Przi N = 1 000 to 3,2%, kole tela co sygnał. Przi N = 10 000 to 1% i przewŏga kasyna je jasno widać. W jednyj sesji przewŏgi niy idzie uwidzieć, a w cŏłkim roku niy idzie jij przeoczyć.
Co zbiygŏ, a co niy
Strzednio na spin zbiygŏ. Suma niy: ôddŏlŏ sie ôd zera, jak N rośnie, ô kole 2,7% N w ôczekiwanyj wartości, z rozrzutym √N kole tego. Grŏcz, kery rozegroł 10 000 spinōw po $10, może sie spodziywać straty $2 700, plus minus $1 000. Bieżōncy udział czerwōnychzakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość → dŏwno sie ustŏwiōł blisko 48,65%; bieżōnce saldo niy ustŏwiōło sie nikaj.
- p10 −$440
- p25 −$280
- myjdiana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Czamu przeczucie zawodzi
Ludzie myślōm, iże przewŏga pokŏże sie gibko, bo 2,70% brzmi jak moc, i myślōm, iże dłōge seryje sie „wyrōwnajōm”, bo prawo srogich liczbmatymatykaPrawo srogich liczbStrzednio niyzależnych wynikōw zbliżŏ sie do ôczekiwanyj wartości, kej rośnie liczba prōb.Czytej cŏłość → gŏdŏ, iże strzednie zbiygajōm. Ôba przeczucia źle ôceniajōm skalã: przewŏga je małŏ w porōwnaniu z wariancjōmmatymatykaWariancjaMiara tego, jak szyroko wyniki sie rozłażōm wkoło ôczekiwanyj wartości. Srogo przi jednym numerze, mało przi szansach prostych.Czytej cŏłość → jednego spinu (σ = 1 jednostka przi EV = 0,027), tōż trza (1/0,027)² ≈ 1 400 spinōw, coby było jã widać na poziōmie jednej sigmy. A zbiyżność strzednij nic niy cofŏ w sumie; ino rozcieńczŏ dŏwne wahania.
Zbiyżność dlŏ inkszych zakładōw
Dlŏ zakładōw na jedyn numerzakłŏdJedyn numer (straight up)Jedyn numer, płaci 35:1.Czytej cŏłość → σ = 5,84, tōż tyn sōm rachunek dŏwŏ (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinōw, nim przewŏga dojdzie do jednej sigmy. Grŏcz, kery stawiŏ na jedyn numer, może grać latami, a we jego włŏsnych zapiskach przewŏgi niy idzie ôdrōżnić ôd szczyńścio, chocia płaci akurat te same 2,70% co grŏcz na czerwōne, kery jã widzi po pŏru tydniach.
Co z tego wynikŏ dlŏ testowanio systymōw
Kożdy, fto gŏdŏ, iże system działŏ, winiyn umieć to pokŏzać na 10 000 spinach abo wiyncyj, z udokumyntowanōm dodatniōm strzedniōm. Przi 1 000 spinach dodatnio strzednio na szansach prostych to zdarzynie raz na piyńć przi hipotezie zerowyj; przi 100 spinach to skoro rzut mōnetōm. Symulatory na tyj zajcie przeprowadzajōm 2 000 sesji ô ôbranyj długości w jednyj sekundzie, a to je wiyncyj dowodōw niż jakeśkolwiek świadectwo.
Wzōr
Pytania
PrawdopodobiyństwomatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość →, iże zaś kejś bydziesz na plusie, spadŏ do zera, jak grŏsz. Suma ciōngnie w dōł bez granicy.
Niy. Znaczy ino, iże dŏwne wahania stajōm sie mynijszōm czyńściōm srogszyj prōby.
Dlŏ szans prostych kole 10 000, nim przewŏga bydzie jasno widać. Dlŏ zakładōw na jedyn numer kole 50 000.
Matymatyka na wesoło
Nojpiyrw sprōbuj je rozwiōnzać samymu. Kożde rozwiōnzanie je zwiniyte; rozwiń je, kej bydziesz chcieć.
Dwŏch kamratōw grŏ 20 rund sprawiedliwyj grymatymatykaSprawiedliwo graGra, w keryj żŏdno strōna niy mŏ przewŏgi: kożdy zakłŏd mŏ ôczekiwanõ wartość zero.Czytej cŏłość →, ciepanie mōnetōm abo czerwōnezakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość → przeciw czŏrnymzakłŏdCzŏrneSzansa prosto na 18 czŏrnych numerōw. Po francusku: noir.Czytej cŏłość → ze zwrōcōnymi zeramikołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość →, i na bieżōnco liczōm wynik. Policz rundy, w kerych kożdy z nich je na przodku (remis liczy sie tymu, fto prowadziył tuż przed nim). Co je bardzij prawdopodobne: iże prowadzynie bydzie podzielōne 10 rund na 10, eli iże jedyn kamrat bydzie prowadziył bez wszyjske 20?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Iże jedyn kamrat prowadzi bez wszyjske 20 rund, je moc bardzij prawdopodobne: 35,2%, liczōnc ôbu kamratōw, przeciw 6,1% dlŏ rōwnego podziału 10 na 10.
Prawdopodobiyństwo, iże sprawiedliwy wynik je rōwny po 2k rundach, to je u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 rundach i 0,176 po 20. Klasyczny wynik, prawo arcusa sinusa, gŏdŏ, iże prawdopodobiyństwo, iże jedyn wybrany kamrat prowadzi bez akuratnie 2k z 2n rund, wynosi u(2k) × u(2n − 2k).
Prowadzynie bez wszyjske 20: u(20) × u(0) = 0,176 dlŏ kożdego kamrata, 35,2% dlŏ keregokolwiek. Rōwny podziŏł: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, nojmynij prawdopodobny podziŏł ze wszyjskich.
Tōż w sprawiedliwyj grze prowadzynie rzadko przechodzi z rãk do rãk. Grŏcz, kery cŏły wieczōr bōł na przodku abo cŏły wieczōr z tyłu, niy uwidziŏł nic niyzwykłego, i to nic niy gŏdŏ ani ô kole, ani ô umiyjyntności. Epstein (2013) podŏwŏ to samo prawo dlŏ dłuższych gier: w połowie przipadkōw strona, kero mŏ wiyncyj szczyńścio, prowadzi bez wiyncyj niż 85% gry.
Chwila ôddychu
Strzednio zbiygŏ. Suma ino ôdchodzi.
Źrōdła
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.