Kryterium Kelly’ego a ruletka
Kryterium Kelly'ego gŏdŏ grŏczowi z przewŏgōm, wiela postawić. Dlŏ ruletki dŏwŏ jasnõ ôdpowiydź: nic.
Stawka Kelly'ego = przewŏga / szanse. Przi ujymnyj przewŏdze wzōr dŏwŏ ujymny ułōmek, co znaczy: niy stawiej. Kryterium dalij pōmŏgŏ zrozumieć, czamu grŏcze, co wykorzystowali skrziwiynie koła, ustŏwiali stawki tak, jak to robili, i czamu wszyjscy inksi winni je ustŏwiać podug budżetu.
Kryterium
John Kelly (1956) spytŏł, jak grŏcz ze znanōm przewŏgōm winiyn ustŏwiać stawki, coby bankrollpieniōndzeBankrollCŏłko suma ôdłożōno na granie. Zarzōndzanie bankrollym to je decydowanie, wiela z niego ryzykować na jedyn zakłŏd i na jednõ sesjã.Czytej cŏłość → (pieniōndze ôdłożōne na granie) na dłōgo metã rōs nojgibcij. Ôdpowiydź dlŏ zakładu, kery płaci b do 1, z prawdopodobiyństwymmatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość → wygranyj p i prawdopodobiyństwym przegranyj q = 1 − p, brzmi: postawić ułōmek f* = (bp − q) / b bankrollu. Dodatnie f* znaczy: postŏw tyn ułōmek; zero abo ujymne – niy stawiej. Kelly robiōł w Bell Labs, a jego artykuł „A new interpretation of information rate” postawiōł problym w teoryji informacyje Claude’a Shannona: grŏcz, kery dostŏwŏ typy bez zaszumiōnõ linijõ, przi sprawiedliwych wypłatach może pōmnażać bankroll nojwyżyj w tympie, w jakim linijŏ niesie informacyjõ. W 1961 roku Leo Breiman dowiōd, iże granie metodōm Kelly'ego na dłōgo metã kōńczy sie lepij niż kożdo istotnie inkszo strategijŏ i dochodzi do ustŏwiōnego cylu skoro w nojkrōtszym możliwym czasie.
Stawianie podug Kelly'ego w ruletce
Dlŏ czerwōnegozakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Dlŏ zakładu na jedyn numerzakłŏdJedyn numer (straight up)Jedyn numer, płaci 35:1.Czytej cŏłość →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Kożdy standardowy zakłŏd dŏwŏ ujymny ułōmek Kelly'ego, bo kożdy zakłŏd mŏ ujymnõ przewŏgã, a stawka nojlepszŏ dlŏ wzrostu wynosi zero. Kryterium Kelly'ego dlŏ ruletki je tōż formalnym spōsobym, coby pedzieć to, co gŏdŏ zajta ô przewŏdze kasyna: niy ma takij wielkości stawki, przi keryj zakłŏd ô ujymnyj ôczekiwanyj wartości powiynksŏ bankroll.
Kaj Kelly sie nadŏwoł
Grŏcze, co wykorzystowali skrziwiynie, mieli przewŏgã i problym z wielkościōm stawek. Jagger, familijŏ García-Pelayo i Eudaemons musieli zdecydować, wiela postawić na swojõ zmierzōnõ przewŏgã, a za małe stawki marnujōm przewŏgã, za srogie zaś grożōm ruinōm, nim przewŏga sie pokŏże. Dlŏ przegrōdkisprzyntPrzegrōdkaJedna z 37 numerowanych przegrōdek na rotorze. Tyż: slot, miseczka.Czytej cŏłość →, kerŏ trefiŏ 1 na 30, Kelly gŏdŏ: 0,57% bankrollu na spin na tyn numer; przi $10 000 to kole $57 na spin, co dŏwŏ typowy wzrost kole 0,054% na spin, abo ×1,7 w 1 000 spinach. Strzedni przirost je dwa razy srogszy, 0,11% na spin, ale Kelly cyluje w typowy bankroll, a niy w strzedni, kery nadmuchuje pŏrã szczyńśliwych seryji. Pōł Kelly'ego to zwykły praktyczny wybōr, bo ôszacowanie przewŏgi je niypewne.
Typowy i strzedni
Rōżnica miyndzy typowym a strzednim bankrollym je srogŏ. Weźmy przegrōdkã, kerŏ trefiŏ 1 raz na 25, co dŏwŏ przewŏgã 44%, to je wartość, kerõ Thorp podŏwŏ dlŏ swojigo nŏczynio. Kelly kŏże stawiać na nia 1,26% bankrollu. Po 1 000 spinach typowy bankroll rośnie kole 11,5 razy, a strzedni, ściōngniynty do gōry bez pŏrã fest szczyńśliwych seryji, kole 249 razy. Stawianie wiyncyj, niż gŏdŏ Kelly, podnŏszŏ strzedni wynik i ôbniżŏ typowy: przi podwōjnyj stawce Kelly'ego typowy bankroll ino sie podwŏjŏ, a przi dwa i pōł razy srogszyj stawce Kelly'ego już maleje, chocia kożdy zakłŏd dalij mŏ 44% przewŏgi. Stawianie mynij kosztuje mało: połowa stawki trzimie kole trzech sztwierci wzrostu.
Kej przewŏga je ino zgadywaniym
Kelly zakłŏdŏ, iże przewŏga je znanŏ. Przi stole trza jã ôszacować, a ôszacowanie je zwykle za wysoke. Przikłŏd Epsteina, postawiōny na 44% Thorpa, to numer, kery wypŏd 49 razy w 1 225 spinach koła z podwōjnym zerymkołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość →: 1 raz na 25, co dŏwŏ przewŏgã 44% i stawkã Kelly'ego 1,26%. Ale rzetelne koło z podwōjnym zerym mŏ 38 numerōw, a nojczynstszy z nich dochodzi do 49 abo wiyncyj trefiyń w 1 225 spinach kole raz na dziewiyńć. Nojczynstszy numer w kożdym zapisku je tyż tyn, kerymu szczyńście pōmogło nojbarzij, tōż nawet naprŏwdã uprzywilejowano przegrōdka wyglōndŏ w zapisku lepij, niż je: to je klōntwa wygranego. Jeźli ta przegrōdka po prŏwdzie niy je uprzywilejowano, stawka Kelly'ego to ino zakłŏd, kery strzednio traci 5,26%. Zwykłe wyjścia to stawiać ułōmek stawki Kelly'ego i dalij liczyć, aż przewŏga przetrwŏ nowy zapisek (podziwej sie: Jak wykryć skrziwiynie koła ruletki).
Ludzie z przewŏgōm
Znać przewŏgã to niy to samo, co dobrze jã wykorzystać. Haghani i Dewey (2016) dali 61 ludziōm po $25 i pozwolili im bez pōł godziny stawiać na mōnetã, kerŏ – jak im pedzieli – padŏ ôrłym w 60% rzutōw, przi wygranyj ôgraniczōnyj do $250 (grŏcze dowiadowali sie ô limicie dopiyro wtedy, jak do niego doszli). Podug Kelly'ego za kożdym razym trza stawiać na ôrła 20% bankrollu, a autorzy szacujōm, iże stałe zakłady po 10–20% dochodziyłyby do limitu w kole 95% przipadkōw. Doszło do niego ino 21% grŏczy. Aże 28% zbankrutowało, 18 z 61 postawiyło wszyjsko na jedyn rzut, kole jednyj trzecij skōńczyło pod $25, ôd kerych zaczynali, a strzednio wypłatapieniōndzeWypłataTo, co ôddŏwŏ wygrany zakłŏd, podŏwane jako „X do 1” na wiyrchu ôddanyj stawki.Czytej cŏłość → wyniosła $91. Ino piyńcioro z 61 słyszało ô kryterium Kelly'ego. Kej mosz przewŏgã, wielkość zakładōw rozstrzygŏ, eli jã utrzimiesz; bez przewŏgi, jak przi rzetelnym kole, żŏdnŏ wielkość niy pōmoże.
Co stosować miast tego
Bez przewŏgi ustŏwianie stawki to sprawa budżetu, a niy wzrostu: stawka to tela, wiela chcesz wydać na spin, wyliczōne z godzinowego budżetu i tympa stołu (zajta ô zarzōndzaniu bankrollym). Wkłŏd Kelly'ego dlŏ zwykłego grŏcza to jasność jego ôdpowiedzi: zero. Wszyjsko, co stawiŏsz nad zero, to cyna granio, kerõ ôbiyrŏsz ty, a niy żŏdyn wzōr.
Pŏrã słōw ô ułōmkowym Kellym i „zarzōndzaniu pieniyndzmi”
Systymy przedŏwane jako „Kelly dlŏ ruletki”, kere radzōm stały procynt bankrollu na zakłŏd, to granie stałōm stawkōmstrategijŏGranie stałōm stawkōmStawianie tyj samyj sumy w kożdym spinie. Pōnkt ôdniesiynio, z kerym sie porōwnuje kożdo progresjŏ.Czytej cŏłość → z malejōncōm stawkōm. Tracōm 2,70% ôbrotupieniōndzeÔbrōtCŏłko suma postawiōno bez sesjã abo bez jakiś czas, razym z zaś postawiōnymi wygranymi. Tyż: handle, action.Czytej cŏłość → (cŏłkowito suma stawek), a skirz tego, iże stawka maleje, jak tracisz, ruina je bez to pōmało, a niy mynij prawdopodobno. To rozsōndny spōsōb, coby budżet starczył na dłużyj; to niy je Kelly, kery by kŏzŏł przestać.
Wzōr
Pytania
Ino przi zmierzōnyj przewŏdze ze skrziwiōnego kołalaboratoriumSkrziwiōne kołoKoło, w kerym fizyczne wady robiōm, iże niykere przegrōdki wypadajōm czyńścij niż 1/37. Rzadke, do wykrycio ino przi tysiōncach zapisanych spinōw.Czytej cŏłość → abo z nŏczynio, co mierzi czas. Niy na rzetelnym kole.
Bo ôszacowanie przewŏgi mŏ fela, a za srogie stawki kosztujōm wiyncyj niż za małe. Pōł Kelly'ego dŏwŏ trzi sztwierci wzrostu przi jednyj sztwierci wariancyjematymatykaWariancjaMiara tego, jak szyroko wyniki sie rozłażōm wkoło ôczekiwanyj wartości. Srogo przi jednym numerze, mało przi szansach prostych.Czytej cŏłość →.
Niy. Kelly szuko nojlepszego wzrostu, kej je przewŏga. Zarzōndzanie bankrollym trzimie wydatki w ryzach, kej przewŏgi niy ma.
Matymatyka na wesoło
Nojpiyrw sprōbuj je rozwiōnzać samymu. Kożde rozwiōnzanie je zwiniyte; rozwiń je, kej bydziesz chcieć.
Urzōndzynie Thorpa i Shannona do przewidywanio dŏwało kole 44% przewŏgi. Na jednym przewidzianym numerze kryteryjum Kelly'ego kŏże stawiać 1,26% bankrollupieniōndzeBankrollCŏłko suma ôdłożōno na granie. Zarzōndzanie bankrollym to je decydowanie, wiela z niego ryzykować na jedyn zakłŏd i na jednõ sesjã.Czytej cŏłość →. A co by było, jakby ta sama 44% przewŏga była na jednym zakładzie rozłożōnym na piyńć numerōw, kere sōm kole siebie?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Wtynczas Kelly kŏże stawiać 7,1% bankrollu, a bankroll rośnie skoro szejś razy gibcij: kole 1,25 milijōna razy bez 1 000 zakładōw, przeciw kole 11,5 razy.
Zakłŏd na jedyn numerzakłŏdJedyn numer (straight up)Jedyn numer, płaci 35:1.Czytej cŏłość → z 44% przewŏgōm wygrŏwŏ z prawdopodobiyństwym 0,04, bo 36 × 0,04 = 1,44. Stawka podug Kelly'ego to je przewŏga podzielōno bez szanse: 0,44/35 = 1,26%. Typowy wzrost na zakłŏd wynosi 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, tōż 1 000 zakładōw mnoży bankroll kole e^2,44 ≈ 11,5 razy.
Rozłōż jedna stawka na piyńć numerōw, a zakłŏd wygrŏwŏ z prawdopodobiyństwym 0,20 i płaci 36/5 za 1, czyli 6,2 do 1: dalij 44% przewŏgi, bo 0,2 × 7,2 = 1,44. Stawka podug Kelly'ego robi sie 0,44/6,2 = 7,10%, a wzrost na zakłŏd 0,01404, kole 5,75 razy wiyncyj. Bez 1 000 zakładōw to je e^14,04, kole 1,25 milijōna.
Przewŏga je ta sama; wahania sōm mynijsze. Zakłŏd, kery wygrŏwŏ roz na piyńć, może nosić srogszy kōnsek bankrollu bez ryzyka ruiny, a wzrost podug Kelly'ego to nagradzŏ. Thorp (1984) używŏ tego przikładu, coby pokŏzać, czamu grŏcze, kerzi przewidujōm wynik, stawiajōm na sektorykołoSektorCiōngły łuk przegrōdek na kole, w ôdrōżniyniu ôd grupy na polu zakładōw.Czytej cŏłość →. W praktyce piyńć sōmsiadōwzakłŏdSōmsiedziNumer i po dwie przegrōdki po kożdyj jego strōnie na kole, piyńć żetonōw na jedyn numer.Czytej cŏłość → mŏ trocha mynijszõ przewŏga niż jedyn nojlepszy numer (uwidź „Granie z przewŏgōm”).
Grŏcz znŏd dwie przegrōdkisprzyntPrzegrōdkaJedna z 37 numerowanych przegrōdek na rotorze. Tyż: slot, miseczka.Czytej cŏłość → kole siebie, kere kożdo trefiajōm 1 roz na 25 zamiast 1 na 37. Mŏ stawiać splitzakłŏdSplitDwa sōmsiednie numery, płaci 17:1.Czytej cŏłość → miyndzy nimi za 17 do 1, eli kożdy numer ôsobno jako jedyn numer? Wiela kŏże Kelly i jak gibko rośnie bankroll w porōwnaniu z jednōm takōm przegrōdkōm?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź To niy robi rōżnicy: 2,59% bankrollu na split abo 1,29% na kożdy numer. Typowy bankroll rośnie kole 155 razy bez 1 000 spinōw, przeciw 11,5 razy z jednōm przegrōdkōm.
Split wygrŏwŏ z prawdopodobiyństwymmatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość → 2/25 = 0,08 i płaci 17 do 1, tōż zwrŏcŏ 18 × 0,08 = 1,44 na postawiōno jednostkapieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość →: przewŏga 44%, ta sama co przi jednyj skrziwiōnyj przegrōdce. Stawka podug Kelly'ego to je przewŏga podzielōno bez szanse: 0,44/17 = 2,59%.
Dwa zakłady na jedyn numer po 1,29% dajōm akuratnie te same wyniki. Kej wypadnie keryś z tych numerōw, jedyn żetonpieniōndzeŻetonZnak, kery wŏży stało suma; kładzie sie go na pole zakładōw, coby postawić zakłŏd. Tyż: check.Czytej cŏłość → wygrŏwŏ 35 do 1, a drugi przepadŏ, netto 34 × 1,29% = 44% bankrollu, tela co płaci split; kej niy wypadnie żŏdyn, przepadajōm ôba.
Wzrost na spin wynosi 0,00505, przeciw 0,00244 dlŏ jednyj przegrōdki, tōż bez 1 000 spinōw typowy bankroll rośnie e^5,046 ≈ 155 razy, a niy e^2,44 ≈ 11,5 razy. Dwa dobre numery sōm wert moc wiyncyj niż dwa razy jedyn, i beztoż grŏcze, kerzi szukajōm skrziwiynio, stawiajōm na grupy numerōw. Thorp (1984) robi to samo porōwnanie.
Chwila ôddychu
Nojlepszŏ dlŏ wzrostu stawka w ruletce to liczba, kerõ wszyjscy już znajōm.
Źrōdła
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”