Zadanie: limit stołu
System Martingale z bazōm $10 przi stole z limitym $500. Jak czynsto sie łōmie, wiela traci, kej sie złōmie, i eli podniesiynie limitu pōmŏgŏ?
Szejś przegranych po kolei go łōmie: 1,8% na cykl, kole 60% sesji po 100 spinōw. Złōmanie kosztuje $630. Podniesiynie limitu do $5 000 robi, iże złōmanie je rzŏdsze (0,25% na cykl) i srogsze ($5 110). Ôczekiwano strata na postawiōnego dolara wynosi 2,70% przi kożdym limicie.
Zadanie
Grŏcz stawiŏ $10 na czerwōnezakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość → i podwŏjŏ po kożdyj przegranyj, a po wygranyj wrŏcŏ do bazy. Maksimum stołu to $500. (a) Wiela przegranych po kolei łōmie progresjõstrategijŏProgresjŏKożdo regla, kero zmiyniŏ stawkã podug wcześniyjszych wynikōw. Ujymne progresyje podnoszōm jõ po przegranych, dodatnie po wygranych.Czytej cŏłość →? (b) Jake je prawdopodobiyństwomatymatykaPrawdopodobiyństwoSzansa wyniku, ôd 0 do 1 abo ôd 0% do 100%. Jedyn numer: 1/37 = 2,70%.Czytej cŏłość → na cykl? (c) Wiela sie traci przi złōmaniu? (d) Jak limit $5 000 zmiyniŏ ôdpowiedzi? (e) Eli jakikolwiek limit robi system ôpłŏcalnym?
Rozwiōnzania (a)–(c)
Stawki: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Siōdmŏ wyniosłaby 640 > 500, tōż łōmie jã szejś przegranych. (b) p(przegrana) = 19/37 na czerwōne; (19/37)⁶ = 0,0183, to je kole 1,8% na cykl. Cykl trwŏ strzednio kole dwōch spinōw, tōż sesjŏ ze 100 spinōw mŏ jakeś 50 cykli, a p(przinojmnij jedno złōmanie) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, to je 63 bazowe jednostkipieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość →, wobec $10, kere cykl prōbowoł wygrać.
Rozwiōnzanie (d)
Przi $5 000: dozwolōne sōm stawki do 2 560; dziesiōntŏ stawka, 5 120, je ôdciepniynto. Łōmie jã dziewiyńć przegranych: (19/37)⁹ ≈ 0,25% na cykl, kole 11% sesji po 100 spinōw. Strata przi złōmaniu: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Grŏcz kupiōł rzŏdszõ katastrofã za cynã srogszyj. W mocy sesjach ôczekiwany koszt złōmań to p × strata ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 na cykl przi limicie $500 i 0,0025 × 5 110 = $12,8 przi $5 000; ôbie liczby sōm blisko, ale niy rōwne, i kożdo z nich to ôczekiwano stratamatymatykaÔczekiwano strataÔczekiwano wartość razy cŏłko postawiōno suma; strzednio strata za sesjã abo za jakiś czas.Czytej cŏłość → cyklu plus $10, kere zarŏbiajōm cykle wygrane.
Rozwiōnzanie (e)
Niy. Ôczekiwano strata na cykl = (ôczekiwano cŏłko stawka w cyklu) / 37, przi kożdym limicie, bo kożdy zakłŏd to −1/37 samego sia. Limit rozstrzygŏ ino ô tym, jak strata sie rozkłŏdŏ miyndzy moc małych wygranych a pŏrã srogich strat. Bez limitu i z niyskōńczōnym bankrollympieniōndzeBankrollCŏłko suma ôdłożōno na granie. Zarzōndzanie bankrollym to je decydowanie, wiela z niego ryzykować na jedyn zakłŏd i na jednõ sesjã.Czytej cŏłość → (pieniōndze ôdłożōne na granie) progresjŏ by „działała”, w tym sensie, iże nikej by sie niy złōmała, a naroz stawiałaby niyôgraniczōnõ kwotã z ôczekiwanōm stratōm 2,70% tyj niyôgraniczōnyj kwoty. To niy limit stołustōłLimit stołuNojmyńszy i nojsrogszy dozwolōny zakłŏd. To maksimum zatrzimuje progresyje, kere podwajajōm stawkã.Czytej cŏłość → niy dŏwŏ systymowi MartingalestrategijŏMartingaleProgresjŏ, kero podwajŏ zakłŏd po kożdyj przegranyj. Co robi, a czego niy, ôpisuje dziŏł Strategije.Czytej cŏłość → działać. Robi to arytmetyka.
Dwa prawdziwe stoły
Przikłŏd Thorpa to stōł z minimum $1 i maksimum $1 000, przi kerym grŏcz chce wygrać $30 na wieczerzã, po dolarze naroz. Stawki 1, 2, 4 … 512 pozwŏlajōm na dziesiynć zakładōw, tōż dziesiynć przegranych po kolei łōmie progresjõ: raz na 785 cykli na europejskim kole (raz na 613 na amerykańskim), kosztym $1 023. Wszyjske trzidziści cykli kōńczy sie powodzyniym w 96,2% przipadkōw. W ôstałych 3,8% traci sie kole $1 000, a strzedni wynik wieczora to −$9,17, to je akurat 1/37 z $339, kere trzidziści cykli strzednio stawiŏ. Stōł z minimum $5 i maksimum $2 000 niczym sie niy rōżni: stawki do $1 280 pozwŏlajōm na dziewiyńć zakładōw, a złōmanie przichodzi raz na 403 cykle na europejskim kole (raz na 323 na amerykańskim) i kosztuje $2 555.
Bogaty grŏcz
Dej progresyji głymboki bankroll miast niskigo limitu: 1 000 jednostek, bazowõ stawkã jednyj jednostki i 1 000 spinōw na czerwōne, z powrotym do jednyj jednostki za kożdym razym, kej nastympne podwojynie je srogsze niż to, co ôstało. Zasymulowali my milijōn takich wieczorōw. Na europejskim kole 52% kōńczy na plusie, 21% traci wszyjsko, a strzedni wynik to −124 jednostki. Nawet w grze bez zerakołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość →, kaj kożdy zakłŏd je sprawiedliwy, na plusie kōńczyłoby ino kole 60%. Zwykły wieczōr to małŏ wygrana; za strzedniõ płacōm wieczory, kere kōńczōm sie na zerze.
Nauka
Kasyna ustŏwiajōm limity, coby ôgraniczyć swojõ włŏsnõ wariancjõmatymatykaWariancjaMiara tego, jak szyroko wyniki sie rozłażōm wkoło ôczekiwanyj wartości. Srogo przi jednym numerze, mało przi szansach prostych.Czytej cŏłość →, a niy coby pokonować systymy. Pokonanie systymu Martingale to skutek uboczny, z kerego sōm rade, a arytmetyka i tak by go pokonała. Grŏcz, kery myśli, iże problymym je limit, znŏlŏz urwisko i wziōn go za zbocze.
Wzōr
Pytania
Pozwŏlŏ przetrwać do wyższego limitu, kaj złōmanie je rzŏdsze i srogsze. Ôczekiwano strata na postawiōnego dolara sie niy zmiyniŏ.
Stawki 10, 30, 70, 150, 310: do limitu $500 dochodzi sie po piyńciu przegranych, a złōmanie kosztuje $570. Te same 2,70%.
Coby jedyn grŏcz niy mōg postawić wiyncyj, niż rezerwa kasyna może wygodnie wypłacić. Zarzōndzanie wariancjōm.
Matymatyka na wesoło
Nojpiyrw sprōbuj je rozwiōnzać samymu. Kożde rozwiōnzanie je zwiniyte; rozwiń je, kej bydziesz chcieć.
System MartingalestrategijŏMartingaleProgresjŏ, kero podwajŏ zakłŏd po kożdyj przegranyj. Co robi, a czego niy, ôpisuje dziŏł Strategije.Czytej cŏłość → zaczynŏ ôd $100 na czerwōnezakłŏdCzerwōneSzansa prosto na 18 czerwōnych numerōw. Po francusku: rouge.Czytej cŏłość → i dozwŏlŏ se nojwyżyj n zakładōw na cykl: po n przegranych po rzyndzie dŏwŏ pokōj i zaczynŏ ôd nowa. Zapisz strzedni wynik jednego cyklu jako wzōr ôd n i policz go dlŏ 5, 6 i 7 zakładōw na europejskim kole.
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Strzednio to je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 dlŏ 5 zakładōw, −$17,35 dlŏ 6 i −$20,52 dlŏ 7. Wiyncyj dozwolōnych zakładōw robi strzedni cykl gorszym, a niy lepszym.
Cykl wygrŏwŏ $100, chyba iże wszyjske n zakładōw przegrŏ, co sie trefiŏ z prawdopodobiyństwym qⁿ, kaj q = 19/37. Kej wszyjske przegrajōm, stawki 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ dajōm razym 100 × (2ⁿ − 1). Tōż strzednio to je 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Sam 2q = 38/37, trocha wiyncyj niż 1, tōż (2q)ⁿ rośnie z n, a strzednio spadŏ: n = 5 dŏwŏ 1,1426 i −$14,26; n = 6 dŏwŏ 1,1735 i −$17,35; n = 7 dŏwŏ 1,2052 i −$20,52. Dłuższo drabina przegrŏwŏ rzadzij, w 3,6%, 1,8% i 0,9% cyklōw, ale kożdo strata je dwa razy srogszŏ, a w kożdym cyklu przechodzi bez stōł wiyncyj pieniyndzy, po 2,70% ôd kożdego zakładu.
Na amerykańskim kole 2q = 40/38, a liczby wynoszōm −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). W grze bez zerakołoZeroJedyno zielōno przegrōdka, kerõ niy pokrywŏ żŏdno szansa prosto, tuzin ani kolumna; źrōdło przewŏgi kasyna. Tyż: pojedyncze zero, 0.Czytej cŏłość → 2q = 1, a kożdy cykl dŏwŏ strzednio akuratnie zero, choćby jak dłōgo bōła drabina.
„Srogi Martingale” podwajŏ stawka po przegranyj i dodŏwŏ jedna jednostkapieniōndzeJednostkaBazowo stawka, w keryj liczy system abo grŏcz. Progresyje ôpisuje sie w jednostkach, coby pasowały do kożdego stołu.Czytej cŏłość →, tōż stawki idōm 1, 3, 7, 15, 31 … Wiela mosz na plusie, kej piyrszo wygrana przidzie w 1., 2., 3. abo k-tym zakładzie? Przi jednostce $10 i maksimum $500 jak czynsto sie cykl łōmie i wiela strzednio kosztuje cykl?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Wygrana w k-tym zakładzie dŏwŏ k jednostek na plusie: +1, +2, +3 i tak dalij. Przi $10 i $500 cykl sie łōmie po piyńciu przegranych, w 3,57% cyklōw, za −$570. Strzednio cykl traci $2,32 z $85,73 postawiōnych: 2,70%.
k-to stawka wynosi 2ᵏ − 1 jednostek: 1, 3, 7, 15, 31. Piyrsze k − 1 stawek dŏwŏ razym 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Wygrana w k-tym zakładzie płaci 2ᵏ − 1, tōż cykl kōńczy sie (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jednostek na plusie: jedna dodatkowo jednostka za kożdo przegrana przed wygranōm.
Przi $10 za jednostka stawki wynoszōm $10, $30, $70, $150 i $310; nastympno, $630, je wyżyj maksimum $500. Piyńć przegranych po rzyndzie, (19/37)⁵ = 3,57%, kosztuje 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Strzednio: wygrane przinoszōm $10 × k z prawdopodobiyństwym (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 dlŏ k ôd 1 do 5, a złōmanie bierze $570 z prawdopodobiyństwym 3,57%; razym −$2,32. Postawiōne pieniōndze wynoszōm strzednio $85,73 na cykl, a 2,32/85,73 = 2,70%. Zwykły Martingale przi tym samym stole łōmie sie po szejściu przegranych, w 1,83% cyklōw, za −$630, i traci $1,74 z $64,20 postawiōnych: zaś 2,70%.
Grŏcz planuje system Martingale na czerwōne z piyrszym zakładym $1 przi stole z limitym $1 000, tōż możliwych je dziesiyńć zakładōw: $1, $2, $4 i tak dalij aże do $512. Jak czynsto cykl przegrŏwŏ wszyjske dziesiyńć, wiela to strzednio trwŏ i jak czynsto wieczōr z 200 zakładami tak sie kōńczy?
Pokŏż rozwiōnzanie
Ôdpowiydź Cykl przegrŏwŏ wszyjske dziesiyńć kole roz na 784, co kosztuje $1 023. To je strzednio kole 1 600 zakładōw, a wieczōr z 200 zakładami wali w mur w kole 11% przipadkōw. Cykl dalij traci strzednio $0,31 z $11,31 postawiōnych: 2,70%.
Zakłŏd na czerwōne przegrŏwŏ z prawdopodobiyństwym 19/37, z zerym. Dziesiyńć po rzyndzie: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, kole 1 na 784. Stawki 1 + 2 + 4 + … + 512 dajōm razym $1 023.
Cykl trwŏ strzednio 2,05 zakładu, tōż 784 cykle trwajōm kole 1 600 zakładōw. Liczōnc spin po spinie, seryjŏ dziesiyńciu przegranych pokazuje sie kajś w 200 zakładach w 11,3% przipadkōw.
Miyndzy katastrofami grŏcz wygrŏwŏ $1 na cykl: kole $783 przed tym złym, potym −$1 023, kole −$240 za cŏły ôdcinek. Na cykl: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Postawiōne pieniōndze na cykl: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Porōwnej piyrszy zakłŏd $10 przi limicie $500, szejś zakładōw: mur przichodzi roz na 55 cyklōw, a wieczōr z 200 zakładami trefiŏ nań w 84% przipadkōw. Wyższy limit robi krach rzadszym i srogszym, ale niy tōńszym.
Chwila ôddychu
Rzŏdsze i srogsze, przi kożdym limicie. Iloczyn je stały.
Źrōdła
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.